Задача 10: Найдите \(\text{tg } 2\alpha\), если \(\cos \alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).

Решение: Известно, что \(\cos \alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Это означает, что \(\alpha\) находится во второй четверти, где синус положителен. Найдем \(\sin \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}\] \[\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}\] Так как \(\alpha\) во второй четверти, \(\sin \alpha\) положителен. Теперь найдем \(\text{tg } \alpha\): \[\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{7}}{-\frac{4\sqrt{3}}{7}} = -\frac{1}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{12}\] Теперь найдем \(\text{tg } 2\alpha\) используя формулу двойного угла: \[\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{3}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{1}{48}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{47}{48}} = -\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{48}{47} = -\frac{8\sqrt{3}}{47}\] Ответ: \(-\frac{8\sqrt{3}}{47}\)