Задача 2: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть x - количество мышек, которые пришли в первую ночь, а y - количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда всего сыра было (S) головок. В первую ночь мышки съели 9 головок сыра, значит: \[x \cdot y = 9\] Во вторую ночь пришло 7 мышек, и каждая съела в 3 раза меньше, то есть (y/3) сыра. Общее количество сыра, которое они съели, равно (7 \cdot (y/3)). Общее количество сыра можно выразить как: \[S = 9 + 7 \cdot \frac{y}{3}\] Так как в первую ночь все мышки съели поровну, то x - это количество мышек, и каждая из них съела y сыра. Во вторую ночь пришло 7 мышек, и они доели оставшийся сыр. Таким образом, общее количество сыра также можно выразить через количество мышек в первую ночь: \[S = x \cdot y + \frac{7y}{3}\] Поскольку (x \cdot y = 9), мы можем переписать уравнение как: \[S = S\] Известно, что в первую ночь мышки съели 9 головок. Пусть изначально было (S) головок сыра. Тогда после первой ночи осталось (S - 9) головок. Во вторую ночь 7 мышек съели оставшийся сыр, и каждая мышка съела в 3 раза меньше, чем в первую ночь. То есть: \[7 \cdot \frac{y}{3} = S - 9\] Мы знаем, что (x \cdot y = 9), откуда (y = \frac{9}{x}). Подставляем это в уравнение выше: \[7 \cdot \frac{9}{3x} = S - 9\] \[\frac{21}{x} = S - 9\] \[S = \frac{21}{x} + 9\] Так как количество мышек должно быть целым числом, а количество сыра тоже целое, то x может быть делителем числа 21. Возможные значения для x: 1, 3, 7, 21. - Если (x = 1), то (S = 21 + 9 = 30). - Если (x = 3), то (S = 7 + 9 = 16). - Если (x = 7), то (S = 3 + 9 = 12). - Если (x = 21), то (S = 1 + 9 = 10). Теперь проверим каждый вариант. - Если (S = 30), то (30 - 9 = 21). Во вторую ночь 7 мышек съели по (y/3), где (y = 9/1 = 9). Тогда каждая мышка съела (9/3 = 3). Всего они съели (7 \cdot 3 = 21). Этот вариант подходит. - Если (S = 16), то (16 - 9 = 7). Во вторую ночь 7 мышек съели по (y/3), где (y = 9/3 = 3). Тогда каждая мышка съела (3/3 = 1). Всего они съели (7 \cdot 1 = 7). Этот вариант подходит. - Если (S = 12), то (12 - 9 = 3). Во вторую ночь 7 мышек съели по (y/3), где (y = 9/7). Тогда каждая мышка съела ((9/7)/3 = 3/7). Всего они съели (7 \cdot (3/7) = 3). Этот вариант подходит. - Если (S = 10), то (10 - 9 = 1). Во вторую ночь 7 мышек съели по (y/3), где (y = 9/21 = 3/7). Тогда каждая мышка съела ((3/7)/3 = 1/7). Всего они съели (7 \cdot (1/7) = 1). Этот вариант подходит. Однако, в условии сказано, что каждая мышка съела в 3 раза меньше сыра. Это означает, что (y/3) должно быть целым числом (ведь сыр измеряется головками). Это выполняется только если y делится на 3. - Если (x = 3), то (y = 9/3 = 3). Тогда каждая мышка съела (3/3 = 1). Тогда (S = 16) головок сыра. Ответ: 16