Задача: На доске записаны все натуральные числа от 1 до 20. За один ход разрешается взять два числа $a$ и $b$, записанные на доске, и заменить их на число $a + b - 1$. Через 19 ходов на доске осталось одно число, какое?

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе. Здесь нам нужно понять, что же не меняется (инвариант) при каждом ходе. 1. Анализ задачи: * На доске изначально записаны числа от 1 до 20. * Каждый ход мы берем два числа ($a$ и $b$) и заменяем их на одно число ($a + b - 1$). * Всего мы делаем 19 ходов. * Нам нужно найти число, которое останется на доске после всех этих ходов. 2. Поиск инварианта: Обратим внимание на сумму всех чисел на доске. Пусть $S$ - сумма всех чисел на доске в начале. После первого хода сумма чисел на доске станет: $S' = S - a - b + (a + b - 1) = S - 1$ То есть, после каждого хода сумма всех чисел на доске уменьшается на 1. 3. Вычисление начальной суммы: Начальная сумма $S$ всех чисел от 1 до 20 может быть вычислена по формуле суммы арифметической прогрессии: $S = \frac{n(n+1)}{2}$, где $n = 20$ $S = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$ 4. Вычисление суммы после 19 ходов: После каждого из 19 ходов сумма уменьшается на 1. Значит, после 19 ходов сумма уменьшится на 19. $S_{19} = S - 19 = 210 - 19 = 191$ Таким образом, после 19 ходов на доске останется одно число, которое равно 191. Ответ: 191