Задача 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM=6, MB=10, AN=5 и NC=13. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 10.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников и отношением их площадей. 1. Определим коэффициенты подобия: - Отношение AM к AB равно $\frac{AM}{AB} = \frac{6}{6+10} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. - Отношение AN к AC равно $\frac{AN}{AC} = \frac{5}{5+13} = \frac{5}{18}$. 2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: Пусть $S_{AMN}$ - площадь треугольника AMN, а $S_{ABC}$ - площадь треугольника ABC. Тогда: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{18} = \frac{15}{144} = \frac{5}{48}$$ 3. Найдем площадь треугольника ABC: Известно, что $S_{AMN} = 10$. Подставим это значение в уравнение: $$\frac{10}{S_{ABC}} = \frac{5}{48}$$ Решим уравнение относительно $S_{ABC}$: $$S_{ABC} = \frac{10 \cdot 48}{5} = \frac{480}{5} = 96$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна 96.