Задача про сыр и мышей:

Решим задачу про сыр и мышей: **Пусть** *x* - количество головок сыра, которое хранилось в погребе изначально. **В первую ночь:** * Мыши съели 10 головок сыра. * Все мыши съели поровну, значит, каждая съела $\frac{10}{n}$ головок (где *n* - количество мышей). **Во вторую ночь:** * Осталось *x - 10* головок сыра. * Пришли не все мыши, а только 11. * Каждая мышь съела в 2 раза меньше, чем накануне, то есть $\frac{10}{2n} = \frac{5}{n}$ головок сыра. * Все 11 мышей съели $11 \times \frac{5}{n} = \frac{55}{n}$ головок сыра. * Они доели оставшийся сыр, значит, $\frac{55}{n} = x - 10$. Т.к. в первую ночь мыши съели 10 головок сыра и их было *n*, то *n* должно быть делителем числа 10. Возможные значения для *n*: 1, 2, 5, 10. Но так как во вторую ночь мышей было 11, то мышей в первую ночь было больше 11. Следовательно мы можем пренебречь возможными значениями для *n*: 1, 2, 5, 10. Однако, здесь есть противоречие в условии. Во вторую ночь мышей было 11, и каждая съела в 2 раза меньше. Значит, чтобы условие выполнялось, нужно, чтобы первая ночь количество мышей было больше 11. Предположим, что в условии имеется в виду, что 10 головок сыра были разделены между мышами **поровну**, и во вторую ночь оставшийся сыр тоже был разделен между мышами **поровну**. Тогда, поскольку во вторую ночь 11 мышей съели остаток, и каждая съела в два раза меньше, чем в первую ночь, имеем: $\frac{x-10}{11} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{n}$ $2n(x-10) = 110$ $n(x-10) = 55$ Так как *n* - целое число, количество мышей, и *x* - количество головок сыра, (x-10) должно быть делителем числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. * Если $x-10 = 1$, то $x = 11$ и $n = 55$. Противоречие: $n > 10$ * Если $x-10 = 5$, то $x = 15$ и $n = 11$. (Подходит, так как в первую ночь мышей должно было быть больше 11, но это не сказано в условии) * Если $x-10 = 11$, то $x = 21$ и $n = 5$. * Если $x-10 = 55$, то $x = 65$ и $n = 1$. Но мы знаем, что во вторую ночь было 11 мышей, поэтому количество мышей в первую ночь не может быть меньше 11. Т.е. значения $n=5$ и $n=1$ нам не подходят Предположим, что имелось ввиду, что число мышей в первую ночь (n) >= 11. Тогда нам подходит вариант x = 15 и n = 11. Хотя мы и не получили точное число мышей в первую ночь, мы получили наиболее адекватное решение, предполагающее минимальные изменения в трактовке условия. **Ответ:** 15 головок сыра.