Задача 9: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 100, sinA = 4/5. Найдите длину отрезка AH.

Сначала найдем длину стороны AC. В прямоугольном треугольнике ABC: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Тогда \[\frac{4}{5} = \frac{BC}{100}\] \[BC = \frac{4}{5} \cdot 100 = 80\] Теперь найдем длину стороны AC, используя теорему Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600\] \[AC = \sqrt{3600} = 60\] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] Мы знаем, что \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найдем \(\cos A\) используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] Теперь можем найти AH: \[AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\] Ответ: 36