Задание 13. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $38\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около квадрата, а $r$ - радиус окружности, вписанной в этот квадрат. 1. **Связь между радиусом описанной окружности и стороной квадрата:** Если сторона квадрата равна $a$, то диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. 2. **Связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата:** Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$. 3. **Выражение стороны квадрата через радиус описанной окружности:** Из $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ выразим $a$: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. 4. **Выражение радиуса вписанной окружности через радиус описанной окружности:** Подставим выражение для $a$ в формулу для $r$: $r = \frac{a}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. 5. **Подстановка значения $R$:** Дано, что $R = 38\sqrt{2}$. Тогда $r = \frac{38\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{38 \cdot 2}{2} = 38$. **Ответ: 38** **Подробное объяснение для школьника:** Представь себе квадрат, вокруг которого нарисована окружность. Эта окружность называется описанной. Теперь представь другую окружность внутри квадрата, касающуюся всех его сторон. Эта окружность называется вписанной. Нам дан радиус большей окружности (описанной), и нам нужно найти радиус меньшей окружности (вписанной). Представь, что сторона квадрата равна "a". Тогда радиус большей окружности можно найти, если знать, что диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, а радиус описанной окружности это половина диагонали. То есть $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Радиус меньшей окружности – это просто половина стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$. Мы знаем $R$, поэтому можем выразить сторону квадрата через $R$: $a = R\sqrt{2}$. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, подставив значение $a$: $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. В нашем случае $R = 38\sqrt{2}$. Подставим это значение: $r = \frac{38\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{38 \cdot 2}{2} = 38$. Вот и всё! Радиус вписанной окружности равен **38**.