Задание №1: В треугольнике ABC сторона AC = 6, BM - медиана, BH - высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Давайте решим эту задачу вместе. **Решение:** 1. Так как BM - медиана, то AM = MC. Поскольку AC = 6, то AM = MC = AC/2 = 6/2 = 3. 2. По условию, BC = BM. Рассмотрим треугольник BHC. BH - высота, то есть, образует прямой угол с AC (угол BHC = 90 градусов). 3. Рассмотрим треугольник BHM. Из условия BC = BM пока неизвестно соотношение длин BH и MH. 4. Попробуем рассмотреть треугольник BHC. Если BC = BM, то BC > BH. 5. В нашем случае BC = BM. Рассмотрим треугольник BMC. Так как BM = BC, то треугольник BMC равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. угол BMC = углу BCM. Угол BHC прямой, значит BH - высота. 6. Обозначим угол BCM = α. Тогда угол BMC = α. Угол MBH = 90 - α, так как треугольник BHC прямоугольный. 7. Рассмотрим треугольник BMH. Угол BMH = 180 - α, а угол BHM = 90 градусов. Значит, угол MBH = 180 - 90 - (180 - α) = α - 90. Что не подходит под условие задачи. 8. **Другой подход:** Рассмотрим случай, когда точка H совпадает с точкой M. Это возможно только, когда треугольник ABC равнобедренный и BM - высота и медиана одновременно. Тогда AH = AM = 3. **Ответ:** Если предположить, что высота BH совпадает с медианой BM, то AH = 3.