Задание 4. В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB = BC, BM - медиана. На луче BM отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если AB = 30.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. BM - медиана, проведенная к основанию AC равнобедренного треугольника ABC, также является биссектрисой и высотой.

Значит, \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\) и BM перпендикулярна AC.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем \(\angle ABM = 60^\circ\), а \(\angle AMB = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle BAM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Рассмотрим треугольник ABF. В нем \(\angle BAF = 90^\circ\). Тогда \(\angle BFA = 180^\circ - \angle ABF - \angle BAF\). Так как \(\angle ABF = \angle ABM = 60^\circ\), то \(\angle BFA = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ\).

Так как \(\angle BAM = 30^\circ\) и \(\angle BFA = 30^\circ\), то треугольник ABF - равнобедренный, и AF = BF.

Так как BM - медиана, то \(AM = MC\). В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит против угла 30 градусов, значит он равен половине гипотенузы AB. То есть, \(AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF. Так как \(\angle ABF = 60^\circ\), то \(BF = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Так как точка M лежит на отрезке BF, то BF = BM + MF. Выразим MF: MF = BF - BM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. \(\angle ABM = 60^\circ\). Значит, \(BM = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Так как BF = 30 и BM = 15, то FM = BF - BM = 30 - 15 = 15.