Разберем каждое предложение:
1. **На дереве сидел дятел барабанщик.**
* Приложение: «барабанщик» (какой дятел? – барабанщик).
* Приложение подчеркнуто и выделено дефисом, если стоит после определяемого слова: На дереве сидел дятел-барабанщик.
2. **Река Москва покрылась хрупким ледком.**
* Приложение: «Москва» (какая река? – Москва).
* Приложение подчеркнуто и выделено дефисом, если стоит после определяемого слова: Река-Москва покрылась хрупким ледком.
**Объяснение:** Приложение – это определение, выраженное существительным, которое дает дополнительную характеристику предмету. Если приложение стоит после определяемого слова, обычно нужно поставить дефис.
Убрать каракули