15. Дана функция $f(x) = x^2 - 6|x| + 8$. 1) Постройте график функции $y = f(x)$. 2) При каких значениях $m$ уравнение $f(x) = m$ имеет ровно два решения?

1) Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 6|x| + 8$, рассмотрим два случая: а) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_в = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3$. Значение функции в вершине: $f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$. Корни: $x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$. Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 + 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_в = \frac{-6}{2(1)} = -3$. Значение функции в вершине: $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Точки пересечения с осью Ox: $x^2 + 6x + 8 = 0$. Дискриминант $D = (6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$. Корни: $x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4$. Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 6(0) + 8 = 8$. Таким образом, график функции $y = f(x)$ представляет собой объединение двух парабол, симметричных относительно оси Oy. 2) Уравнение $f(x) = m$ имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая $y = m$ пересекает график функции $y = f(x)$ в двух точках. Из графика видно, что это происходит, когда $m < -1$ или $m = 8$. **Ответ: $m < -1$ или $m = 8$**. ```html ```