5. Докажите, что при любых значениях $m$ верно неравенство $m(1+5m) \geq m^2 +5m -1$.

Докажем неравенство $m(1+5m) \geq m^2 +5m -1$: Раскроем скобки в левой части: $m + 5m^2 \geq m^2 + 5m - 1$ Перенесем все члены в левую часть: $5m^2 - m^2 + m - 5m + 1 \geq 0$ Упростим: $4m^2 - 4m + 1 \geq 0$ Заметим, что левая часть является полным квадратом: $(2m - 1)^2 \geq 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство верно при любых значениях $m$. Ответ: Неравенство доказано.