Контрольная работа № 3 по теме «Признаки подобия треугольников». Вариант 2. Задача 1. Дано: \(PE || NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(\frac{PE}{NK}\); в) \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}}\)

**Решение:** а) Рассмотрим треугольники \(\triangle MEP\) и \(\triangle MKN\). \(\angle M\) - общий. \(\angle MEP = \angle MKN\) (соответственные углы при параллельных прямых \(PE\) и \(NK\) и секущей \(MK\)). Следовательно, \(\triangle MEP \sim \triangle MKN\) по двум углам. Найдем \(EN\): \[EN = MN - ME = 12 - 6 = 6\] Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}\] \[\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}\] \[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\] **Ответ:** \(MK = 9\) б) Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: \[\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\] **Ответ:** \(\frac{PE}{NK} = \frac{2}{3}\) в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{PE}{NK}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\] **Ответ:** \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \frac{4}{9}\)