Петя играет в компьютерную игру. Он начинает с нуля очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать 100 000 очков. После первой минуты игры добавляется 1 очко, после второй — 2 очка, после третьей — 4 очка и так далее: каждую минуту добавляется вдвое больше очков, чем в предыдущий раз. Через сколько минут после начала игры Петя перейдёт на следующий уровень?

Ответ:

\[b_{1} = 1;b_{2} = 2;b_{3} = 4;\ldots\]

\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{2}{1} = 2;\]

\[S_{n} = \frac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{q - 1} = \frac{1 \cdot \left( 2^{n} - 1 \right)}{2 - 1} =\]

\[= 2^{n} - 1;\]

\[2^{n} - 1 \geq 100\ 000\]

\[2^{n} \geq 100\ 001.\]

\[2^{10} = 1024;\ 2^{7} = 128;\]

\[2^{17} = 1024 \cdot 128 = 131\ 172 > 100\ 001.\]

\[Через\ 17\ минут\ Петя\ перейдет\ \]

\[на\ следующий\ уровень.\]

\[Ответ:через\ 17\ минут.\]