Площадь треугольника (ABC) равна 80. (BD:CD = 1:3). Биссектриса (AD) пересекает медиану (BK) в точке (E). Нужно найти площадь четырехугольника (EDCK).
Так как (BD:CD = 1:3), то (BD = \frac{1}{4}BC), (CD = \frac{3}{4}BC).
Площадь треугольника (ABD) равна (S_{ABD} = \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 80 = 20).
Площадь треугольника (ADC) равна (S_{ADC} = \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4} \cdot 80 = 60).
Так как (BK) - медиана, то (AK = KC). Поэтому площадь треугольника (BKC) равна половине площади треугольника (ABC): (S_{BKC} = \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40).
Рассмотрим треугольник (ADC). (E) - точка пересечения биссектрисы (AD) и медианы (BK).
По свойству биссектрисы (\frac{AE}{ED} = \frac{AK}{KD}).
Также известно, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, (S_{ABK} = S_{CBK} = 40).
Пусть (S_{EDCK} = x).
Так как (BD:CD = 1:3), то (\frac{BD}{BC} = \frac{1}{4}), а (\frac{CD}{BC} = \frac{3}{4}).
Также (BK) - медиана, следовательно, (AK = KC). Поэтому (\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{1}{3}).
Так как (AD) - биссектриса, то (\frac{S_{ABE}}{S_{CBE}} = \frac{AB}{BC}).
Но нам нужно найти площадь (EDCK).
Так как (S_{ABC} = 80) и (S_{BKC} = 40), то (S_{ABK} = 40).
Поскольку (BD:CD = 1:3), то (S_{ABD} = 20), (S_{ADC} = 60).
Нам нужно найти (S_{EDCK}).
(S_{EDCK} = S_{KDC} + S_{EDC})
Площадь (KDC) равна половине (ADC), (S_{KDC} = 0.5 S_{ADC}) = 30.
Поскольку BD:CD = 1:3, то CD = 3/4 BC. Значит площадь треугольника ADC = 3/4 площади всего треугольника ABC = 3/4 * 80 = 60
Так как BK медиана, то AK = KC, Значит площадь треугольника KDC = 1/2 * площади ADC = 1/2 * 60 = 30
Так как AD биссектриса, то она делит сторону BC пропорционально прилежащим сторонам, BD/CD = AB/AC = 1/3
Ответ: Площадь EDCK = 30.