2. Рис. 861. Дано: $\cup AB : \cup AC = 5:3$. Найти: $\angle BOC, \angle ABC$.

Пусть $\cup AB = 5x$, а $\cup AC = 3x$. Так как вся окружность составляет $360^\circ$, то $\cup AB + \cup AC + \cup BC = 360^\circ$. Из рисунка видно, что $\angle A = 60^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть $\cup BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Тогда $5x + 3x + 120^\circ = 360^\circ$, $8x = 240^\circ$, $x = 30^\circ$. Значит, $\cup AB = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$, а $\cup AC = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, следовательно, $\angle BOC = \cup BC = 120^\circ$. $\angle ABC$ – вписанный, опирается на дугу $\cup AC$, следовательно, $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Ответ: $\angle BOC = 120^\circ, \angle ABC = 45^\circ$