Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равно 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму первых пяти членов.

Ответ:

\[b_{1};b_{1}q;b_{1}q^{2};\ldots\]

\[S_{3} = b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2} = 13;\ \ \]

\[b_{1}^{2} + b_{1}^{2}q^{2} + b_{1}^{2}q^{4} = 91.\]

\[6q^{2} - 20q + 6 = 0\ \ \ |\ :2\]

\[3q^{2} - 10q + 3 = 0\]

\[D_{1} = 25 - 9 = 16\]

\[q_{1} = \frac{5 + 4}{3} = 3;\ \ \]

\[q_{2} = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3}.\]

\[\left\{ \begin{matrix} q = \frac{1}{3}\ \\ b_{1} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ или\ \ \left\{ \begin{matrix} q = 3\ \ \\ b_{1} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:q = \frac{1}{3};b_{1} = 9\ \ или\ \]

\[\ q = 3;\ \ b_{1} = 1.\]