Токарь должен был обработать 120 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 4 детали больше и поэтому выполнил задание на 1 час раньше срока. Сколько деталей в час стал обрабатывать токарь после того, как он усовершенствовал резец?

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 4} = 1\]

\[\frac{120 \cdot (x + 4) - 120x}{x(x + 4)} = 1\]

\[120x + 480 - 120x = x^{2} + 4x\]

\[x^{2} + 4x - 480 = 0\]

\[D = b^{2} - 4ac = 16 - 4 \cdot 1 \cdot ( - 480) =\]

\[= 16 + 1920 = 1936\]

\[x_{1} = \frac{- 4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20\ (деталей).\]

\[x_{2} = \frac{- 4 - 44}{2} = - \frac{48}{2} = - 24 < 0 \Longrightarrow не\ \]

\[подходит.\]

\[1)\ 20 + 4 = 24\ (детали).\]

\[Ответ:токарь\ стал\ обрабатывать\ 24\ \]

\[детали\ в\ час.\]

\[y = x^{2} + 4x - 5\]

\[1)\ x_{0} = \frac{- b}{2a} = \frac{- 4}{2} = - 2\]

\[y_{0}( - 2) = 4 - 8 - 5 = - 9 \Longrightarrow ( - 2;\ - 9).\]

\[2)\ y = 0 \Longrightarrow\]

\[x^{2} + 4x - 5 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 4\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = - 5 \Longrightarrow x_{1} = - 5\ \ \ и\ \ \ \]

\[x_{2} = 1 \Longrightarrow ( - 5;0)\ и\ \ (1;0).\]

\[3)\ x = 0 \Longrightarrow y = 0 + 0 - 5 = - 5 \Longrightarrow (0; - 5).\]

\[4x^{2} + 5x - 6 < 0\]

\[4x^{2} + 5x - 6 = 0\]

\[D = b^{2} - 4ac = 25 - 4 \cdot 4 \cdot ( - 6) =\]

\[= 25 + 96 = 121\]

\[x_{1} = \frac{- 5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75\]

\[x_{2} = \frac{- 5 - 11}{8} = - \frac{16}{8} = - 2\]

\[\mathbf{Ответ:\ }x \in ( - 2;0,75).\]

\[\sqrt{24}\left( \sqrt{30} - \sqrt{6} \right) - 4\sqrt{45} =\]

\[= \sqrt{24 \cdot 30} - \sqrt{24 \cdot 6} - 12\sqrt{5} =\]

\[= \sqrt{4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5} - \sqrt{4 \cdot 6 \cdot 6} - 12\sqrt{5} =\]

\[= 12\sqrt{5} - 12 - 12\sqrt{5} = - 12\ \mathbf{\ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 8\ \ \ \ \ \\ x^{2} - 3y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 8 - 2y\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ (8 - 2y)^{2} - 3y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 8 - 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 64 - 32y + 4y^{2} - 3y = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 8 - 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4y² - 35y + 69 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4y^{2} - 35y + 69 = 0\]

\[D = b^{2} - 4ac = 1225 - 4 \cdot 4 \cdot 69 =\]

\[= 1225 - 1104 = 121\]

\[y_{1} = \frac{35 + 11}{8} = \frac{46}{8} = \frac{23}{4} = 5\frac{3}{4} = 5,75\]

\[y_{2} = \frac{35 - 11}{8} = \frac{24}{8} = 3\]

\[\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} y = 5,75 \\ x = - 3,5 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} y = 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:( - 3,5;5,75)\ и\ \ (2;3).\]