14. В первую минуту жук прополз 25 см, а в каждую следующую — на одно и то же количество сантиметров меньше, чем в предыдущую. Известно, что жук полз 7 минут и прополз 133 см. Сколько сантиметров прополз жук за три последние минуты?

Пусть $a_1$ — расстояние, которое прополз жук в первую минуту. Пусть $d$ — разница в расстоянии между каждой следующей минутой. Тогда расстояние, которое прополз жук в $n$-ю минуту, можно выразить как $a_n = a_1 + (n-1)(-d) = a_1 - (n-1)d$. Общая сумма расстояний, которые прополз жук за $n$ минут, равна: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)(-d)) = \frac{n}{2}(2a_1 - (n-1)d)$. Нам дано, что $a_1 = 25$ и $S_7 = 133$. Тогда: $133 = \frac{7}{2}(2(25) - 6d) = \frac{7}{2}(50 - 6d) = 7(25 - 3d)$ Разделим обе части на 7: $19 = 25 - 3d$ $3d = 25 - 19 = 6$ $d = 2$ Теперь мы знаем, что жук проползал на 2 см меньше каждую минуту. Чтобы найти расстояние, которое жук прополз за три последние минуты, нам нужно найти расстояния за 5-ю, 6-ю и 7-ю минуты. $a_5 = 25 - (5-1)2 = 25 - 4(2) = 25 - 8 = 17$ $a_6 = 25 - (6-1)2 = 25 - 5(2) = 25 - 10 = 15$ $a_7 = 25 - (7-1)2 = 25 - 6(2) = 25 - 12 = 13$ Сумма расстояний за три последние минуты равна: $S_{5,6,7} = 17 + 15 + 13 = 45$ Ответ: 45 см