12. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AL$ перпендикулярна медиане $BM$. Найдите $AC$, если $AB = 5$.

Пусть $O$ - точка пересечения $AL$ и $BM$. Так как $AL \perp BM$, то треугольник $AOB$ является равнобедренным ($AO = BO$). Так как $AL$ - биссектриса, то $\angle BAO = \angle OAC$. Обозначим $\angle BAO = \angle OAC = \alpha$. Поскольку $AO = BO$, то треугольник $AOB$ равнобедренный, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA = \alpha$. Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC$. Рассмотрим треугольник $ABM$. В нём $BO$ является высотой и биссектрисой, а значит, он равнобедренный. Поэтому $AB = BM = 5$. Тогда $AO = BO = AB\cos(\alpha)$ Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BM$ - медиана и $BO=OM$, то $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Тогда $AO$ медиана. Так как медианы $AL$ и $BM$ перпендикулярны, а $AM = MC$, то треугольник $AMC$ равнобедренный. $AO$ также медиана, а значит $AC = 2AM = 2AB = 10$. Ответ: 10