В треугольнике ABC известно, что \(\angle B = 90°\), \(\angle ACB = 60°\), отрезок CD - биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle B = 90°\), \(\angle ACB = 60°\), CD - биссектриса, BD = 5 см. Найти: AB. Решение: 1. Так как \(\angle B = 90°\) и \(\angle ACB = 60°\), то \(\angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30°\). 2. CD - биссектриса угла \(\angle ACB\), значит, \(\angle BCD = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\). 3. Рассмотрим \(\triangle BCD\). \(\angle BDC = 180° - 90° - 30° = 60°\). 4. По теореме синусов в \(\triangle BCD\): \(\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{BC}{\sin \angle BDC}\) \(\frac{5}{\sin 30°} = \frac{BC}{\sin 60°}\) \(\frac{5}{0.5} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \(10 = \frac{2BC}{\sqrt{3}} \(BC = 5\sqrt{3}\) 5. В \(\triangle ABC\): \(\tan 30 = \frac{BC}{AB}\) \(\tan 30 = \frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{5\sqrt{3}}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) \(AB = \frac{5\sqrt{3}*3}{\sqrt{3}}\) \(AB = 15\) **Ответ:** AB = 15 см.