В треугольнике ABC провели биссектрису AK и получили равнобедренный треугольник AKC с основанием AC. Найдите AB, если KC = 18, \(\angle BCA = 36^\circ\).

Здравствуйте, ребята. Давайте разберемся с этой задачей по геометрии. 1. **Анализ условия.** У нас есть треугольник ABC, в котором AK - биссектриса угла A. Получился равнобедренный треугольник AKC с основанием AC. Это значит, что AK = KC = 18. Также нам известен угол \(\angle BCA = 36^\circ\). 2. **Находим углы в треугольнике AKC.** Поскольку треугольник AKC равнобедренный (AK = KC), углы при основании AC равны: \(\angle KAC = \angle KCA = 36^\circ\). 3. **Находим угол AKC.** Сумма углов в треугольнике AKC равна 180 градусам. Поэтому: \(\angle AKC = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\) 4. **Находим угол AKB.** Угол AKB является смежным с углом AKC, поэтому: \(\angle AKB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) 5. **Находим угол BAK.** AK - биссектриса угла A, значит \(\angle BAK = \angle KAC = 36^\circ\). 6. **Находим угол ABK (или ABC).** Теперь рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в этом треугольнике равна 180 градусам. Поэтому: \(\angle ABK = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) 7. **Определяем тип треугольника ABK.** В треугольнике ABK углы BAK и ABK равны (оба по 72 градуса). Это значит, что треугольник ABK равнобедренный с основанием BK, и AB = AK. 8. **Находим AB.** Поскольку AB = AK и AK = 18, то AB = 18. **Ответ:** 18