13. Выполните действия. 1) Решите уравнение sin 2x = cos(\frac{\pi}{2} - x). 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1; 4].

Решение: 1) Решим уравнение sin 2x = cos(\frac{\pi}{2} - x). Используем формулу приведения: cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x. Тогда уравнение принимает вид: sin 2x = sin x. Используем формулу для двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x. Получаем: 2 sin x cos x = sin x. Перенесем все в одну сторону: 2 sin x cos x - sin x = 0. Вынесем sin x за скобки: sin x (2 cos x - 1) = 0. Тогда либо sin x = 0, либо 2 cos x - 1 = 0. Рассмотрим sin x = 0. Решения: x = \pi n, где n - целое число. Рассмотрим 2 cos x - 1 = 0. 2 cos x = 1. cos x = \frac{1}{2}. Решения: x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, где k - целое число. 2) Укажем корни, принадлежащие отрезку [1; 4]. \pi \approx 3.14 \frac{\pi}{3} \approx 1.047 Для x = \pi n: n = 0: x = 0 (не принадлежит отрезку [1; 4]) n = 1: x = \pi \approx 3.14 (принадлежит отрезку [1; 4]) n = 2: x = 2\pi \approx 6.28 (не принадлежит отрезку [1; 4]) Для x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi k: k = 0: x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 (принадлежит отрезку [1; 4]) k = 1: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \approx 7.33 (не принадлежит отрезку [1; 4]) Для x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi k: k = 0: x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047 (не принадлежит отрезку [1; 4]) k = 1: x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \approx 5.23 (не принадлежит отрезку [1; 4]) Ответ: \pi, \frac{\pi}{3} Ответ: {$\pi, \frac{\pi}{3}$}