Задача 2: Дано \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\) и \(\angle 3 = 50^{\circ}\). Найдите \(\angle 4\).

Из условия задачи известно, что сумма углов \(\angle 1\) и \(\angle 2\) равна \(180^{\circ}\). Это означает, что углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными, а следовательно, прямая, на которой они лежат, является развернутым углом. Рассмотрим треугольник, образованный прямыми. Угол \(\angle 3\) является внешним углом этого треугольника при вершине С. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае, \(\angle 3\) является внешним углом для угла \(\angle 4\) и угла при вершине B, который является углом \(\angle 2\). Тогда: \(\angle 3 = \angle 4 + \angle B\) Или: \(\angle 3 = \angle 4 + \angle 2\) Но нам также дано, что \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), а так как углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, то их сумма равна \(180^{\circ}\). Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\) и \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), то угол при вершине B является смежным с углом \(\angle 2\). Следовательно, \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), а значит \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\) Известно, что \(\angle 3 = 50^{\circ}\). Значит, угол смежный с углом 3 также равен \(180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то можно записать: \(\angle 4 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}\) Но у нас нет значения угла \(\angle 2\). Однако, можно заметить, что угол \(\angle 4\) и угол, смежный с углом \(\angle 3\), являются внутренними односторонними углами при прямых AB и BC и секущей AC. Если прямые AB и BC параллельны, то сумма этих углов равна \(180^{\circ}\). Но из рисунка этого не следует. Другое решение: Если \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), это значит что углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, и лежат на одной прямой. Тогда, если посмотреть на треугольник, то \(\angle 3\) - это внешний угол этого треугольника, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. То есть, \(\angle 3 = \angle 4 + \angle 2\). Так как \(\angle 3 = 50^{\circ}\), то \(50^{\circ} = \angle A + \angle B\). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), и \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), то мы не можем найти угол \(\angle 4\). Однако, если предположить, что задача имеет ввиду, что \(\angle 1\) и \(\angle 2\) - это внутренние односторонние углы, то в этом случае, прямые параллельны. Тогда \(\angle 4 = \angle 3 = 50^{\circ}\). **Ответ: \(\angle 4 = 50^{\circ}\)** (если предположить, что \(\angle 1\) и \(\angle 2\) - внутренние односторонние углы)