Задача 6. Катер проплыл 75 км против течения реки и вернулся в пункт отправления, пробыв в пути 8 часов. Найдите скорость катера по озеру, если скорость течения равна 5 км/ч.

Пусть (v) - скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера против течения равна (v - 5), а по течению (v + 5). Время, затраченное на путь против течения, равно (\frac{75}{v - 5}), а время, затраченное на путь по течению, равно (\frac{75}{v + 5}). Общее время в пути составляет 8 часов. Составим уравнение: \[\frac{75}{v - 5} + \frac{75}{v + 5} = 8\] Умножим обе части уравнения на ((v - 5)(v + 5)), чтобы избавиться от знаменателей: \[75(v + 5) + 75(v - 5) = 8(v^2 - 25)\] Раскроем скобки: \[75v + 375 + 75v - 375 = 8v^2 - 200\] \[150v = 8v^2 - 200\] Перенесем все в правую часть: \[8v^2 - 150v - 200 = 0\] Разделим обе части на 2: \[4v^2 - 75v - 100 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант (D = b^2 - 4ac = (-75)^2 - 4(4)(-100) = 5625 + 1600 = 7225). Тогда (v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 \pm \sqrt{7225}}{8} = \frac{75 \pm 85}{8}). Получаем два возможных значения для (v): (v_1 = \frac{75 + 85}{8} = \frac{160}{8} = 20) (v_2 = \frac{75 - 85}{8} = \frac{-10}{8} = -1.25) (отрицательное значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Таким образом, скорость катера в стоячей воде (по озеру) равна 20 км/ч. **Ответ:** 20