Задача 2: На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB = BM = KD, ∠AMB = 30°. Найдите угол параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Дано: ABCD - параллелограмм, M ∈ BC, K ∈ AD, AB = BM = KD, ∠AMB = 30°. Найти: Угол параллелограмма, сравнить AM и CK. Решение: 1. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD и BC = AD. 2. BM = KD по условию. Следовательно, BC - BM = AD - KD, то есть MC = AK. 3. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = BM, то треугольник ABM - равнобедренный с основанием AM. Значит, ∠BAM = ∠BMA = 30°. 4. ∠ABM = 180° - (∠BAM + ∠BMA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°. 5. Так как ∠ABM является углом параллелограмма, то острый угол параллелограмма равен 180° - 120° = 60°. 6. Рассмотрим треугольники ABM и CDK. AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма), BM = KD (по условию), ∠ABM = ∠CDK = 120° (как углы параллелограмма). Следовательно, ΔABM = ΔCDK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 7. Из равенства треугольников следует, что AM = CK. Ответ: угол параллелограмма равен 120° (тупой угол) и 60° (острый угол), AM = CK.