Задача 9: Найти FM, если DF + FM + DM = 28 и P (периметр DEF) = 36. Известно, что DM = ME и углы FDM и FEM равны.

Решение: Так как DM = ME и углы FDM и FEM равны, то DM = ME, а FM - медиана и высота в треугольнике DEF, следовательно, треугольник DEF - равнобедренный, DF = FE. Периметр треугольника DEF равен DF + FE + DE = 36. Учитывая, что DF = FE, имеем 2DF + DE = 36. Также известно, что DF + FM + DM = 28. Так как DM = ME, то DE = 2DM. Тогда DF + FM + DM = 28. Получаем систему уравнений: 1) \(2DF + 2DM = 36\) 2) \(DF + FM + DM = 28\) Выразим DF + DM из второго уравнения: DF + DM = 28 - FM Умножим это уравнение на 2: 2DF + 2DM = 56 - 2FM Теперь приравняем это к первому уравнению: 36 = 56 - 2FM 2FM = 56 - 36 2FM = 20 FM = 10 **Ответ: FM = 10**