Задача 3. В арифметической прогрессии третий член равен 5, а сумма первых 15 членов равна 525. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Решение: Нам дано, что ( a_3 = 5 ) и ( S_{15} = 525 ). Мы знаем, что ( a_3 = a_1 + 2d ), где ( a_1 ) - первый член, ( d ) - разность. Также мы знаем, что ( S_{15} = \frac{15}{2} [2a_1 + (15-1)d] ). Сначала выразим ( a_1 ) через ( d ) из уравнения ( a_3 = 5 ): \[a_1 + 2d = 5\] \[a_1 = 5 - 2d\] Теперь подставим ( S_{15} = 525 ) и ( a_1 = 5 - 2d ) в формулу суммы: \[525 = \frac{15}{2} [2(5 - 2d) + 14d]\] Умножим обе стороны на 2/15: \[\frac{525 \cdot 2}{15} = 2(5 - 2d) + 14d\] \[70 = 10 - 4d + 14d\] \[70 - 10 = 10d\] \[60 = 10d\] \[d = 6\] Теперь найдем ( a_1 ): \[a_1 = 5 - 2d = 5 - 2(6) = 5 - 12 = -7\] Ответ: Первый член ( a_1 = -7 ), разность ( d = 6 ).