Задача №4: В трапеции ABCD с основаниями AD = 100 и BC = 20 провели среднюю линию MN. Найдите расстояние между серединами отрезков MB и CN.

Решение: 1. Пусть K - середина MB, а L - середина CN. 2. Обозначим середину AB через M, а середину CD через N. MN - средняя линия трапеции. 3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN = (AD + BC) / 2 = (100 + 20) / 2 = 60. 4. MK = MB / 2 и NL = NC / 2. 5. Рассмотрим трапецию MBCN. KL - средняя линия трапеции MBCN, поэтому KL = (MN + BC) / 2 = (60+20)/2 = 40. 6. С другой стороны, найдем длину KL, через вычитание из MN. KL = MN - MK - NL. Получается, что MK+NL=MN-KL=60-40=20. Теперь обозначим середину MB за P, а середину NC за Q, и нужно найти длину PQ. По рисунку видим, что MN=MP+PQ+QN. Так как MP=1/2*MB и NQ=1/2*NC, то 2MP+2QN=MB+NC. По условию MB=NC, то есть MP=NQ. Тогда длина PQ=MN-MP-NQ, a MN=(AD+BC)/2=(100+20)/2=60. MP=NQ = X. MN=60=MP+PQ+NQ = 2X+PQ, где X=MP=NQ. Но у нас не хватает данных. По условию M и N - середины боковых сторон, P и Q - середины MB и CN. Нужно найти PQ. Пусть P - середина MB, а Q - середина CN. Тогда MP = 1/2 MB, NQ = 1/2 NC. Пусть A - середина AB, B - середина CD. MN = (BC + AD)/2 Тогда PQ = |(AD-BC)/4|. Тогда PQ = |(100 - 20)/4| = |80/4| = 20. Ответ: 20