ЗАДАНИЕ №1: Найдите угол \(ACO\), если его сторона \(CA\) касается окружности, \(O\) – центр окружности, сторона \(CO\) пересекает окружность в точках \(B\) и \(D\), а дуга \(AD\) окружности, заключённая внутри этого угла, равна \(128^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. **Поймем условие:** У нас есть окружность с центром \(O\). Прямая \(CA\) является касательной к окружности в точке \(A\). Прямая \(CO\) пересекает окружность в точках \(B\) и \(D\). Дуга \(AD\) равна \(128^\circ\). Наша цель - найти угол \(ACO\). 2. **Свойство касательной и хорды:** Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними. В нашем случае, \(∠CAD\) равен половине дуги \(AD\). \(∠CAD = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ\) 3. **Рассмотрим треугольник \(AOC\):** \(OA\) – радиус окружности, и \(CA\) – касательная, значит, \(∠OAC = 90^\circ\), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 4. **Найдем угол \(AOC\):** Так как углы \(CAD\) и \(OAD\) вместе составляют угол \(OAC\), который равен 90 градусов. \(∠OAD\) = \(90 - ∠CAD = 90 - 64 = 26\) градуса. Угол \(AOD\) равен дуге \(AD\), то есть \(128^\circ\). Угол \(AOB = 180 - 128 = 52^\circ\). Угол \(AOC = \frac{1}{2} AOB = \frac{1}{2} 52 = 26^\circ\). 5. **Сумма углов треугольника:** Сумма углов в треугольнике \(AOC\) равна \(180^\circ\). Значит, \(∠ACO = 180^\circ - ∠OAC - ∠AOC\) \(∠ACO = 180^\circ - 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ\) 6. **Или можно проще** Рассматриваем треугольник OAC, где угол OAC равен 90 градусов. \(26^\circ \cdot 2 = 52^\circ\) угол AOD. Тогда угол AOC равен \(\frac{1}{2} (180- 128) = 26^\circ\) и угол \(ACO = 180 - (90+26)=64^\circ\) или \(180 - 90 - 26= 64^\circ\) **Ответ:** Угол \(ACO\) равен \(32^\circ\). **Итоговый ответ:** 32