17. Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $100a + 10b + c$, где $a$, $b$, и $c$ - цифры. По условию, $c = a/2$ или $a = 2c$. Также известно, что число делится на 37. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид $100c + 10b + a$. Разность между этими числами равна $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)$. По условию, эта разность больше 300. Значит, $99(a - c) > 300$, откуда $a - c > 300/99 \approx 3.03$. Так как $a$ и $c$ - цифры, то $a - c$ должно быть целым числом, то есть $a - c \ge 4$. Зная, что $a = 2c$, получим $2c - c \ge 4$, то есть $c \ge 4$. Теперь переберём возможные значения для $c$. Если $c = 4$, то $a = 2c = 8$. Если $c = 5$, то $a = 2c = 10$, что невозможно, так как $a$ - цифра. Значит, $c = 4$ и $a = 8$. Тогда наше число имеет вид $8b4$. Переберём значения $b$ от 0 до 9 и проверим, делится ли число $8b4$ на 37. Если $b = 0$, то 804 / 37 \approx 21.73, не делится. Если $b = 1$, то 814 / 37 \approx 22.00, не делится. Если $b = 2$, то 824 / 37 \approx 22.27, не делится. Если $b = 3$, то 834 / 37 \approx 22.54, не делится. Если $b = 4$, то 844 / 37 \approx 22.81, не делится. Если $b = 5$, то 854 / 37 = 23, делится. Значит, задуманное число было 854. Проверим условие про разность: 854 - 458 = 396, что больше 300. Ответ: 854