10) Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите наименьшее число, обладающее таким свойством.

Решение: Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры, причем $$c
eq 0$$. Тогда это число можно записать как $$100a + 10b + c$$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $$\overline{cba}$$, и его можно записать как $$100c + 10b + a$$. По условию, разность этих чисел равна 792: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 792$$ $$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 792$$ $$99a - 99c = 792$$ $$99(a - c) = 792$$ $$a - c = \frac{792}{99}$$ $$a - c = 8$$ Так как $$a$$ и $$c$$ - цифры, и $$a - c = 8$$, то возможные пары $$(a, c)$$ таковы: $$(9, 1)$$ и $$(8, 0)$$. Но по условию, $$c
eq 0$$, поэтому остается только вариант $$(9, 1)$$. Теперь нам нужно найти наименьшее число $$\overline{abc}$$. Так как $$a = 9$$ и $$c = 1$$, то число имеет вид $$\overline{9b1}$$. Чтобы число было наименьшим, нужно выбрать наименьшую возможную цифру для $$b$$, то есть $$b = 0$$. Таким образом, наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее условию, равно 901. Проверим: $$901 - 109 = 792$$ Ответ: 901