Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличивать на 2, а знаменатель – 21, то дробь уменьшится на 1/4. Найдите эту дробь.

\[Пусть\ x - знаменатель\ дроби,\ \]

\[тогда\ (x - 4) - ее\ числитель.\]

\[(x - 4 + 2) - числитель\ новой\ \]

\[дроби;\]

\[(x + 21) - знаменатель\ новой\ \]

\[дроби.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{x - 4}{x} - \frac{x - 4 + 2}{x + 21} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{x - 4}{x} - \frac{x - 2}{x + 21} = \frac{1}{4}\]

\[ОДЗ:\ \ x \neq 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \neq - 21\]

\[\frac{(x - 4)(x + 21) - x(x - 2)}{x(x + 21)} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{x^{2} + 21x - 4x - 84 - x^{2} + 2x}{x^{2} + 21x} = \frac{1}{4}\]

\[4 \cdot (19x - 84) = x^{2} + 21x\]

\[76x - 336 - x^{2} - 21x = 0\]

\[- x^{2} + 55x - 336 = 0\]

\[x^{2} - 55x + 336 = 0\]

\[D = b^{2} - 4ac =\]

\[= 3025 - 4 \cdot 1 \cdot 336 =\]

\[= 3025 - 1344 = 1681\]

\[x_{1} = \frac{55 + 41}{2} = \frac{96}{2} = 48\]

\[x_{2} = \frac{55 - 41}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[1)\ 48 - 4 = 44 \Longrightarrow \frac{44}{48} -\]

\[не\ подходит,\ так\ как\ дробь\ \]

\[сократимая.\]

\[2)\ 7 - 4 = 3 \Longrightarrow \frac{3}{7}\]

\[Ответ:\ \frac{3}{7} - нужная\ нам\ дробь.\]