2. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(-6; 1), B(0; 5), C(6; -4), D(0; -8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей O.

Чтобы доказать, что ABCD — прямоугольник, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и что углы между соседними сторонами прямые. **1. Найдем векторы сторон:** \(\vec{AB} = \{0 - (-6); 5 - 1\} = \{6; 4\}\) \(\vec{BC} = \{6 - 0; -4 - 5\} = \{6; -9\}\) \(\vec{CD} = \{0 - 6; -8 - (-4)\} = \{-6; -4\}\) \(\vec{DA} = \{-6 - 0; 1 - (-8)\} = \{-6; 9\}\) **2. Проверим параллельность:** Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) пропорциональны, \(\vec{AB} = -\vec{CD}\), значит \(AB \parallel CD\). Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\) пропорциональны, \(\vec{BC} = -\vec{DA}\), значит \(BC \parallel DA\). **3. Проверим перпендикулярность смежных сторон (скалярное произведение):** Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) должно быть равно 0 для перпендикулярности. \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-9) = 36 - 36 = 0\) Так как скалярное произведение равно 0, угол между \(AB\) и \(BC\) прямой, значит ABCD - прямоугольник. **4. Найдем координаты точки пересечения диагоналей O:** Точка O является серединой диагонали AC (или BD). Найдем координаты середины AC: \(O_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-6 + 6}{2} = 0\) \(O_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{1 + (-4)}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5\) Координаты точки O: \((0; -1.5)\). **Итоговый ответ:** ABCD - прямоугольник, координаты точки пересечения диагоналей \(O\) равны \((0; -1.5)\).