211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

a) Пусть даны две параллельные прямые (a) и (b), пересечённые секущей (c). Рассмотрим два накрест лежащих угла (∠1) и (∠2). Пусть (l_1) - биссектриса угла (∠1), а (l_2) - биссектриса угла (∠2). Так как (∠1) и (∠2) накрест лежащие и (a || b), то (∠1 = ∠2). Так как (l_1) и (l_2) - биссектрисы, то половина угла (∠1) равна половине угла (∠2). Таким образом, углы, образованные биссектрисами с секущей (c), равны. Это значит, что биссектрисы (l_1) и (l_2) параллельны. b) Рассмотрим два односторонних угла (∠3) и (∠4). Пусть (l_3) - биссектриса угла (∠3), а (l_4) - биссектриса угла (∠4). Так как (∠3) и (∠4) - односторонние углы, то (∠3 + ∠4 = 180^circ). Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому половина угла (∠3) плюс половина угла (∠4) равно 90°. А это значит, что при пересечении биссектрис образуется прямой угол. Таким образом, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.