25. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 45, тангенс угла BAC равен \(\frac{20}{21}\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение: 1. Обозначим радиус вписанной окружности в треугольник BCP как \(r_{BCP} = 45\). 2. \(\tan(\angle BAC) = \frac{20}{21}\). Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{21}\). 3. \(\angle BCP = \angle BAC = \alpha\) (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). 4. В прямоугольном треугольнике BCP радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{a + b - c}{2}\), где a и b - катеты, c - гипотенуза. Тогда \(45 = \frac{CP + BP - BC}{2}\). 5. Обозначим радиус вписанной окружности в треугольник ABC как \(r_{ABC}\). Тогда \(r_{ABC} = \frac{AC + BC - AB}{2}\). 6. Пусть \(BC = 20x\) и \(AC = 21x\). Тогда \(AB = \sqrt{(20x)^2 + (21x)^2} = \sqrt{400x^2 + 441x^2} = \sqrt{841x^2} = 29x\). 7. \(r_{ABC} = \frac{21x + 20x - 29x}{2} = \frac{12x}{2} = 6x\). 8. В треугольнике BCP: \(\tan(\alpha) = \frac{BP}{CP} = \frac{20}{21}\). Следовательно, \(BP = \frac{20}{21} CP\). 9. Из формулы для радиуса в треугольнике BCP: \(45 = \frac{CP + \frac{20}{21}CP - 20x}{2}\). Тогда \(90 = CP(1 + \frac{20}{21}) - 20x = CP(\frac{41}{21}) - 20x\). 10. Из подобия треугольников ABC и BCP имеем: \(\frac{CP}{AC} = \frac{BC}{AB}\). Тогда \(CP = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{21x \cdot 20x}{29x} = \frac{420x}{29}\). 11. Подставим CP в уравнение: \(90 = \frac{420x}{29} (\frac{41}{21}) - 20x\). Тогда \(90 = \frac{20x \cdot 41}{29} - 20x = 20x(\frac{41}{29} - 1) = 20x(\frac{12}{29})\). 12. \(90 = \frac{240x}{29}\), следовательно \(x = \frac{90 \cdot 29}{240} = \frac{3 \cdot 29}{8} = \frac{87}{8}\). 13. \(r_{ABC} = 6x = 6 \cdot \frac{87}{8} = 3 \cdot \frac{87}{4} = \frac{261}{4} = 65.25\). Ответ: 65.25