№3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Давайте докажем равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу. 1. **Дано:** Два прямоугольных треугольника, ΔABC и ΔA₁B₁C₁, у которых: * ∠C и ∠C₁ - прямые углы. * Катеты AC = A₁C₁. * Высоты, опущенные из прямого угла на гипотенузу, CH = C₁H₁. 2. **Рассмотрим треугольники:** * У нас есть ΔACH и ΔA₁C₁H₁, оба прямоугольные, так как CH и C₁H₁ - высоты. * AC = A₁C₁ (по условию). * CH = C₁H₁ (по условию). 3. **Доказательство равенства ΔACH и ΔA₁C₁H₁:** * ΔACH и ΔA₁C₁H₁ - прямоугольные треугольники с равными катетами: AC = A₁C₁ и CH = C₁H₁. * По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, получаем, что ΔACH = ΔA₁C₁H₁. * Из равенства этих треугольников следует равенство углов ∠CAH = ∠C₁A₁H₁ 4. **Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁:** * ∠C и ∠C₁ - прямые углы. * AC = A₁C₁ (по условию). * ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (из равенства ΔACH и ΔA₁C₁H₁). * Таким образом, по катету и прилежащему острому углу ΔABC = ΔA₁B₁C₁. **Ответ:** Прямоугольные треугольники равны, если равны их катеты и высоты, опущенные на гипотенузу, так как из этого следует равенство треугольников по катету и прилежащему острому углу.