3. На основании \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отметили точки \(M\) и \(K\) так, что \(\angle ABM = \angle CBK\), точка \(M\) лежит между точками \(A\) и \(K\). Докажите, что \(AM = CK\).

**Решение:** 1. Так как \(ABC\) - равнобедренный треугольник, то \(AB = BC\) и \(\angle BAC = \angle BCA\). 2. Дано, что \(\angle ABM = \angle CBK\). 3. Рассмотрим углы \(\angle MBA\) и \(\angle KBC\). Так как \(\angle ABC\) - угол равнобедренного треугольника, то \(\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = \angle CBK + \angle KBA\). 4. Следовательно, \(\angle ABM + \angle MBC = \angle CBK + \angle KBA\). Поскольку \(\angle ABM = \angle CBK\) (по условию), то \(\angle MBC = \angle KBA\). 5. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBK\). У них: * \(AB = BC\) (как стороны равнобедренного треугольника) * \(\angle ABM = \angle CBK\) (по условию) * \(\angle BAM = \angle BCK\) (как углы при основании равнобедренного треугольника) 6. Следовательно, треугольники \(ABM\) и \(CBK\) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 7. Из равенства треугольников следует, что \(AM = CK\). **Ответ:** \(AM = CK\) доказано.