4. Известно, что \(AB = AD\) и \(BC = DC\) (рис. 45). Докажите, что \(BO = DO\).

**Решение:** 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). У них: * \(AB = AD\) (дано) * \(BC = DC\) (дано) * Сторона \(AC\) - общая. 2. Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 3. Из равенства треугольников следует, что \(\angle BAC = \angle DAC\) и \(\angle BCA = \angle DCA\). 4. Рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(ADO\). У них: * \(AB = AD\) (дано) * \(\angle BAO = \angle DAO\) (так как \(\angle BAC = \angle DAC\)) * Сторона \(AO\) - общая. 5. Следовательно, треугольники \(ABO\) и \(ADO\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует, что \(BO = DO\). **Ответ:** \(BO = DO\) доказано.