712. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найдите отношение OK : ON, если MP = 7 см, NP = 3 см.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В треугольнике MNP биссектриса MD делит сторону NP на отрезки ND и DP, причём MN/MP = ND/DP Также, биссектриса NK делит сторону MP на отрезки MK и KP, причём MN/NP = MK/KP Однако, поскольку нам не дана информация о длине MN, мы не можем напрямую использовать эти пропорции. Известно, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Также известно, что точка пересечения биссектрис треугольника делит биссектрисы в соотношении, равном сумме прилежащих сторон к противолежащей стороне. Но данное соотношение не требуется, так как нам нужно отношение OK:ON. Согласно свойству биссектрисы треугольника и с учётом того, что MD и NK являются биссектрисами, а точка O является их пересечением, то точка О делит биссектрису NK в отношении ON/OK = (MN + MP)/MP. Но поскольку у нас нет MN и она нам не нужна, то OK/ON = KP/MP = NP/MP Подставим значения, OK/ON = 3/7 Следовательно, ON/OK = 7/3, а OK:ON = 3:7 Ответ: OK:ON = 3:7