Билет №1. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников гласит: *если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.* **Доказательство:** Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и CA = C₁A₁. 1. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B – с вершиной B₁, и они лежали по разные стороны от прямой A₁B₁. 2. Соединим точки C и C₁ отрезком. Получим два равнобедренных треугольника ACC₁ и BCC₁ (AC = A₁C₁ = AC₁, BC = B₁C₁ = BC₁). 3. В равнобедренном треугольнике ACC₁ углы при основании AC и AC₁ равны. Аналогично, в равнобедренном треугольнике BCC₁ углы при основании BC и BC₁ равны. 4. Следовательно, углы ACB и A₁C₁B₁ равны как суммы равных углов. ∠ACB = ∠ACC₁ + ∠BCC₁ = ∠A₁C₁C + ∠B₁C₁C = ∠A₁C₁B₁. 5. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠ACB = ∠A₁C₁B₁.