5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠BDC = 84°, ∠BDA=24° и ∠DBC=32°. Найти углы четырёхугольника.

Сумма углов, опирающихся на одну и ту же дугу, равна. 1) ∠A = ∠BDA + ∠BDC = 24° + 84° = 108° 2) ∠C = ∠A = 108° (противоположные углы вписанного четырёхугольника) 3) ∠B = ∠DBC + ∠ABD, найдем ∠ABD. ∠ABD = ∠ACD (опираются на одну и ту же дугу). ∠ACD + ∠ADC = 180° - ∠A = 180° - 108° = 72°. ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 24° + 84° = 108°. ∠ACD = 108° - 84° - 24° = 0°. Это не верно, значит надо искать другой способ решения. 4) ∠C = ∠BDC + ∠ABD = 84° + ∠ABD, отсюда ∠ABD = ∠C - 84°. ∠C = 180° - ∠A = 180° - 108° = 72°. ∠ABD = 72° - 84° = -12°. Это невозможно. Найдем углы треугольника BCD: ∠BDC = 84° ∠DBC = 32° ∠BCD = 180° - 84° - 32° = 64° ∠BAD = ∠BCD = 64° ∠BDA = 24° ∠BDC = 84° ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 24° + 84° = 108° ∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 108° = 72° Ответ: ∠A = 64°, ∠B = 72°, ∠C = 64°, ∠D = 108°