Контрольная работа №5. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, BC = 6 см, \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle CBD = 45^\circ\). Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как \(\angle CBD = 45^\circ\), а \(\angle BDC = 90^\circ\), то \(\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник BCD - равнобедренный, и BD = CD = 6 см. Рассмотрим треугольник ABD. \(tgA = \frac{BD}{AD}\), следовательно, \(AD = \frac{BD}{tgA}\). Так как \(\angle A = 30^\circ\), то \(tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Тогда, \(AD = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\) см. **Ответ:** \(AD = 6\sqrt{3}\) см