Найдите $tg 2\alpha$, если $cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Используем формулу для тангенса двойного угла: $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$. Найдем $sin \alpha$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, то $\alpha$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$ $sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$ (так как синус отрицателен в четвертой четверти). Теперь найдем $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$. Подставим в формулу для тангенса двойного угла: $tg 2\alpha = \frac{2(-\frac{\sqrt{6}}{12})}{1 - (-\frac{\sqrt{6}}{12})^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23}$. Ответ: $-\frac{4\sqrt{6}}{23}$