14. Павел каждый день совершает пешие прогулки. Начинал он с 15-минутной прогулки в первый день и увеличивал время прогулки в каждый следующий день на одинаковое количество минут. На какой по счёту день прогулка Павла превысила 1 час, если известно, что в шестой день он гулял в два раза дольше, чем в первый?

Пусть $a_1$ – время прогулки в первый день (15 минут), $d$ – ежедневное увеличение времени прогулки (в минутах), $n$ – номер дня, когда время прогулки превысило 1 час (60 минут). Тогда $a_6$ – время прогулки в шестой день. Из условия задачи известно, что $a_6 = 2a_1$. Выразим $a_6$ через $a_1$ и $d$: $a_6 = a_1 + 5d$. Получаем уравнение $a_1 + 5d = 2a_1$, откуда $5d = a_1 = 15$, следовательно, $d = 3$ минуты. Теперь найдем, в какой день время прогулки превысит 60 минут. Время прогулки в $n$-й день равно $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам нужно найти наименьшее $n$, такое что $a_n > 60$. Подставляем известные значения: $15 + (n-1)3 > 60$. $15 + 3n - 3 > 60$ $3n + 12 > 60$ $3n > 48$ $n > 16$ Следовательно, наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 17. Значит, на **17** день прогулка Павла превысит 1 час.