4. Разложите на множители: a) $(2a^3 - 3b^2)^2 - (2a^3 + b^2)^2$; б) $\frac{1}{4}a^4 + 2a^2b^2 + 4b^4$; в) $x^2 - 5x + 4$; г) $x^2 + 6xy + 8y^2$.

Решение: a) $(2a^3 - 3b^2)^2 - (2a^3 + b^2)^2 = ((2a^3 - 3b^2) - (2a^3 + b^2))((2a^3 - 3b^2) + (2a^3 + b^2)) = (2a^3 - 3b^2 - 2a^3 - b^2)(2a^3 - 3b^2 + 2a^3 + b^2) = (-4b^2)(4a^3 - 2b^2) = -8b^2(2a^3 - b^2)$ б) $\frac{1}{4}a^4 + 2a^2b^2 + 4b^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2 + 2(\frac{1}{2}a^2)(2b^2) + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a^2 + 2b^2)^2$ в) $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ (Ищем корни квадратного уравнения) г) $x^2 + 6xy + 8y^2 = (x+2y)(x+4y)$ (Ищем корни квадратного уравнения) Ответ: a) $-8b^2(2a^3 - b^2)$; б) $(\frac{1}{2}a^2 + 2b^2)^2$; в) $(x-1)(x-4)$; г) $(x+2y)(x+4y)$