Решите систему уравнений: \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases}

Выразим y из первого уравнения: $2y = 3x^2 - 1$, следовательно, $y = \frac{3x^2 - 1}{2}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $2x^2 - (\frac{3x^2 - 1}{2})^2 = 1$ $2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1$ $8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4$ $8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4$ $-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0$ $9x^4 - 14x^2 + 5 = 0$ Пусть $z = x^2$, тогда уравнение принимает вид: $9z^2 - 14z + 5 = 0$ $D = (-14)^2 - 4 * 9 * 5 = 196 - 180 = 16$ $z_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 * 9} = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$ $z_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 * 9} = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ Тогда: $x^2 = 1$, следовательно, $x_1 = 1$, $x_2 = -1$ $x^2 = \frac{5}{9}$, следовательно, $x_3 = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $x_4 = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ Найдем соответствующие значения y: Если $x = 1$, то $y = \frac{3 * 1^2 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Если $x = -1$, то $y = \frac{3 * (-1)^2 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Если $x = \frac{\sqrt{5}}{3}$, то $y = \frac{3 * (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - 1}{2} = \frac{3 * \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ Если $x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, то $y = \frac{3 * (-\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - 1}{2} = \frac{3 * \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ Ответ: $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3})$