3. Тепе-теңдікті дәлелдеңіз: \(\frac{\cos x}{1-\sin x} - \frac{\cos x}{1+\sin x} = 2\operatorname{tg} x\)

Докажем тождество: \(\frac{\cos x}{1-\sin x} - \frac{\cos x}{1+\sin x} = 2\operatorname{tg} x\) Приведем левую часть к общему знаменателю: \(\frac{\cos x (1+\sin x) - \cos x (1-\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\) Раскроем скобки в числителе: \(\frac{\cos x + \cos x \sin x - \cos x + \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x}\) Упростим числитель: \(\frac{2 \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x}\) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим в знаменатель: \(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^2 x}\) Сократим на \(\cos x\): \(\frac{2 \sin x}{\cos x}\) Вспомним, что \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Тогда: \(2 \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \operatorname{tg} x\) Таким образом, мы доказали, что \(\frac{\cos x}{1-\sin x} - \frac{\cos x}{1+\sin x} = 2\operatorname{tg} x\) Что и требовалось доказать.