25. В треугольнике ABC AB = BC = 18, \(\angle ABC = 120°\), BK - биссектриса. Найдите длину BK.

Так как BK - биссектриса угла B, то \(\angle ABK = \angle CBK = 120° / 2 = 60°\). В треугольнике ABK: \(\angle ABK = 60°\). Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, и \(\angle BAC = \angle BCA = (180° - 120°) / 2 = 30°\). Рассмотрим треугольник ABK. В нем \(\angle BAK = 30°\) и \(\angle ABK = 60°\). Значит, \(\angle AKB = 180° - 30° - 60° = 90°\). Тогда треугольник ABK - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике ABK: \(AB = 18\), \(\angle BAK = 30°\). \(BK = AB \cdot cos(30°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\). Ответ: \(9\sqrt{3}\)