25. В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BE\) и медиана \(AD\) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 68. Найдите стороны треугольника \(ABC\).

Пусть \(BE\) и \(AD\) пересекаются в точке \(O\). 1. Так как \(BE\) - биссектриса и высота в треугольнике \(ABE\), то треугольник \(ABE\) равнобедренный (\(AB = AE\)), и \(BE\) - медиана. Следовательно, \(AO = OD = 68/2 = 34\). Итак, \(AO = 34\), а значит \(AD = AO + OD = 34 + 34 = 68\). Условие \(AD = 68\) дано в условии. 2. Так как \(AD\) - медиана, то \(BD = DC\). Пусть \(BD = DC = x\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABE\). Так как \(AO\) - медиана, то \(AO = OE = 34\), значит, \(BE = 2 \cdot AO = 2 \cdot 34 = 68\). 4. Применим теорему Менелая для треугольника \(BCE\) и прямой \(AD\): \(\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CO}{OE} \cdot \frac{EA}{AB} = 1\) \(1 \cdot \frac{CO}{34} \cdot \frac{EA}{AB} = 1\), значит \(\frac{CO}{34} \cdot \frac{EA}{AB} = 1\) Так как \(AB = AE\), то \(\frac{EA}{AB} = 1\), следовательно, \(\frac{CO}{34} = 1\), то есть \(CO = 34\). 5. \(AC = AE + EC = AB + EC\). Применим теорему Пифагора для треугольника \(ABO\): \(AB^2 = AO^2 + BO^2\), \(BO = \sqrt{AB^2 - AO^2}\). Аналогично для \(EOC\) применим теорему Пифагора, \(EC = \sqrt{OC^2 + OE^2} = \sqrt{34^2 + 34^2} = \sqrt{2 \cdot 34^2} = 34\sqrt{2}\). 6. Теперь посмотрим на треугольник \(BOC\). \(BO = \sqrt{AB^2 - 34^2} = \sqrt{AB^2 - 1156}\). И \(BC = 2x = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{AB^2 - 1156 + 1156} = \sqrt{AB^2} = AB\). 7. \(2x = \sqrt{(68)^2 + (68)^2} = \sqrt{2 \cdot (68)^2} = 68 \sqrt{2}\). 8. Получается, что \(BC = 2x = 68\sqrt{2}\) и \(AC = AB + EC = AB + 34\sqrt{2} = AE + 34\sqrt{2}\) и \(BC = AB\) 9. \(AC = 34 \sqrt{5}\). Тогда \(AE = AB = BC = 34 \sqrt{2}\). Ответ: \(AB = 34\sqrt{2}\), \(BC = 68\sqrt{2}\), \(AC = 34\sqrt{5}\).